权重衰减 学习笔记
2025-10-31 13:51:58
权重衰减 学习笔记
在探讨优化器在PyTorch中的实现时，我发现PyTorch允许优化器接受一个权重衰减参数(Weight decay)，用以防止模型过拟合。于是我深入了解这方面的内容，形成学习笔记一篇。
基本介绍
权重衰减是一个经典的正则化技术，目的是减轻模型的过拟合现象。
正则化是一种改善模型的泛化能力的技术，可以防止过拟合。正则化包括数据正则化，结构正则化和标签正则化。除了在损失函数中引入L1范数或L2范数进行正则化外，也可以采用诸如Dropout 技术进行。
在深度学习中，模型训练通常采用梯度下降法来最小化损失函数，梯度下降法的目标是找到损失函数的局部最小值，使模型有最好的的预测能力。但是，如果模型的参数足够多，模型就更可能识别出训练集数据的特征，缺失了对数据的泛化性，造成过拟合的问题。即使模型在训练集上表现很好，但在测试集或真是数据上表现就会下降。
技术方法
权重衰减通过在损失函数的值中引入正则化项来解决问题。在PyTorch的实现中，正则化项在优化器中被直接添加到梯度上（AdamW的改进则是直接将正则化项放到最后进行添加，使正则化的作用能直接作用于参数，免于被动量等其他优化器措施影响）。正则化项通常采用的是L1范数或L2范数。
采用L2范数的正则化是指将模型的权重的平方和添加到损失函数中，乘以一个较小的正则化参数
λ
\lambda
λ。 在训练过程中，梯度下降法将计算损失函数值和每个参数的梯度，权重衰减的正则化项将被添加到梯度中，从而导致权重往小的方向发展。
模型权重数值越小，模型的复杂度越低。
模型的复杂度低，就不容易识别到数据个体的特征，学习到的是数据的共通特征，也就是具有了良好的泛化性。
假设损失函数
L
(
w
,
b
)
L(w,b)
L(w,b)，其中，
w
w
w和
b
b
b分别代表模型的权重和偏置，则权重衰减的实现为:
L
′
(
w
,
b
)
=
L
(
w
,
b
)
+
λ
⋅
∣
∣
w
∣
∣
2
L'(w,b)=L(w,b)+\lambda\cdot||w||^2
L′(w,b)=L(w,b)+λ⋅∣∣w∣∣2 其中
∣
∣
w
∣
∣
2
||w||^2
∣∣w∣∣2表示参数向量的L2范数的平方和
L1范数指向量各元素的绝对值之和，该范数被称为曼哈顿范数，计算出来的距离也被称为曼哈顿距离
L2范数指向量各元素的平方和开方，该范数被称为欧几里得范数，在欧几里得空间内计算出来的距离为长度
需要注意的是，正则化参数$ \lambda
的选择对模型的性能有重要影响。较小的
的选择对模型的性能有重要影响。较小的
的选择对模型的性能有重要影响。较小的\lambda
值会导致较强的正则化效果，可能会使模型欠拟合。而较大的
值会导致较强的正则化效果，可能会使模型欠拟合。而较大的
值会导致较强的正则化效果，可能会使模型欠拟合。而较大的\lambda$值可能会减少正则化效果，使模型过拟合。因此，选择合适的正则化参数是权衡模型复杂度和泛化能力的关键。
图像解释
如下图，假设绿色部分Loss均为2，是图中的Loss最低点，而我们的目标是让模型的权重更小，因此我们希望两个权重都能更接近坐标原点。
画出L2范数，
L
2
=
w
1
2
+
w
2
2
L2=w_1^2+w_2^2
L2=w12+w22，越靠近坐标原点L2范数越小。如下图所示：
可以看到，模型使用梯度下降进行学习，有往绿环偏移的趋势，而L2范数则会使模型参数变小。两者共同作用，将会是模型权重停留在A点，这也是满足Loss最小化和参数最小化的点，带有该参数的模型对问题既有良好的准确性，也有良好的泛化性。
L1范数
L1 范数的可视化图像可见下图的左图部分。它可以产生稀疏解，即让部分参数为零，从而实现特征选择。L2正则化不会产生稀疏解，但可以让参数更小，更平滑。为了达成使模型总体最小的目标，权重衰减使用了L2 范数。
但根据使用目标的不同，L1 范数仍然具有它的优点：
L1正则化是对模型参数的绝对值求和，也称为L1范数。L2正则化是对模型参数的平方求和，再开平方，也称为L2范数或欧几里得范数。L1正则化可以产生稀疏解，即让部分参数为零，从而实现特征选择。L2正则化不会产生稀疏解，但可以让参数更小，更平滑。L1正则化的优点是可以减少无关特征的影响，降低模型的维度，提高模型的可解释性。L1正则化的缺点是可能会损失一些重要特征，导致欠拟合，而且不太容易优化。L2正则化的优点是可以防止模型过拟合，提高模型的稳定性，而且容易优化。L2正则化的缺点是不能实现特征选择，降低模型的可解释性，而且可能会引入一些噪声特征。L1损失测量的是预测值和实际值之间的绝对差值，而MSE损失测量的是预测值和实际值之间的平方差值。这意味着L1损失对离群值更加稳健，因为绝对值函数对所有的错误都一视同仁，而L2(MSE)损失由于是平方运算，对较大的错误给予更多的权重。L1正则化和L2正则化可以结合起来使用，称为弹性网络（Elastic Net）。弹性网络可以兼顾稀疏性和平滑性，同时避免L1正则化和L2正则化各自的缺陷。
损失函数
L1范数和L2范数既可以用在对Loss函数进行处理上（权重衰减），也可以直接当作损失函数，用以衡量模型的优劣。L1损失和MSE损失是衡量回归问题中预测值和实际值之间误差的两种不同方式，L1损失对离群值更加稳健，L2(MSE)损失对较大的误差给予更多的权重。
这里只是简单的介绍权重衰减的应用与作用，关于其原理，包括为什么模型权重数值越小，模型的复杂度越低及不使用其他范数进行正则化，可以参考以下文章。
参考
权重衰减weight_decay参数从入门到精通
什么是范数（Norm），其具有哪些性质
权重衰减(Weight Decay)
超级干货 | 用万字文章总结25种正则化方法（值得收藏）
L1 Loss VS L2 loss（MSE Loss）对比
【深度学习】最全的十九种损失函数汇总